Az inga egyensúlyi helyzeteinek stabilizálása és destabilizálása

Preview	PDF (thesis) Download (2MB) | Preview
Preview	PDF (booklet) Download (749kB) | Preview
Preview	PDF (booklet) Download (735kB) | Preview

Abstract in Hungarian

Disszertációm az inga fölső egyensúlyi helyzetének stabilizálhatóságáról, il- letve alsó egyensúlyi helyzetének destabilizálhatóságáról szól, megadva az al- kalmasan választott paramétertartományokban a stabil és instabil zónákat az azokat elválasztó periodikus megoldásokból álló görbék leírása segítségével. A disszertáció fő eredménye, hogy eleminek mondható vizsgálati eszköz haszná- latával sikerült egy korábban megjelent eredményt élesíteni és általánosítani, illetve elkészíteni az úgynevezett stabilitási térképet a Floquet-elvre épülő, bo- nyolult számítások használata nélkül. Ez azt is jelenti, hogy a módszer alkalmas mélyebb matematikai ismeretekre támaszkodó elmélet használatának áthidalá- sára, segítve annak fokozatos megismerését, elsajátítását. Rövid előszó és bevezetés után a hintázás problémáját vizsgáljuk. Bevezetjük a jelenséget leíró periodikus lépcsősfüggvény együtthatós, másodrendű, lineáris differenciálegyenlet origóhoz közeledő, és origótól távolodó megoldása fogalmát. Szükséges és elegendő föltételeket adunk ezek létezésére, és segítségükkel meg- fogalmazzuk a mozgásegyenlet periodikus megoldásainak létét garantáló tételt. Ezt követően az inga fölső egyensúlyi helyzete körüli mozgásokra koncentrá- lunk. Egy korábban megjelent publikáció módszerét kiterjesztve az abban található, az inga fölső egyensúlyi helyzetének stabilizálhatóságáról szóló ered- ményt élesítjük és egyben alkalmazzuk az általános esetre. Végül ugyancsak a fölső egyensúlyi helyzet stabilizálhatóságával foglalkozunk olyan módon, hogy a 2T-periodikus, lépcsősfüggvény együtthatós egyenlet 2T-, illetve 4T-periodikus megoldásait állítjuk elő. A fázissíkon ezen periodikus meg- oldásoknak megfelelő görbék segítségével a korábbi, becsléssel kapott, stabilitási zónákra vonatkozó eredményeinket pontosítjuk, s így az egzakt stabilitási tér- képet tudjuk elkészíteni.

Abstract in foreign language

In the thesis we investigate motions of an excited pendulum about their equilib- ria. The excitation means a step-function coefficient in the equation of motion, namely in a second order linear eqaution which describes the motions around the upper and the lower equilibrium states. We are looking for the values of the parameters in the excitation for which the upper equilibrium is stable, and the lower one is unstable. Our method is elementary in the sense that instead of dif- ficult calculations of the Floquet Theory - the classical theory of the differential equation with periodic coefficient - simply geometric ideas are applied. After a short foreword and introduction, we investigate the problem of swing- ing. Introducing the concepts of solutions going away from the origin and ap- proaching to the origin, we give necessary and sufficient conditions in terms of T and ε for the existence of solutions of these types, which yield conditions for the existence of periodic solutions of the equation of motion. In the next chapter, we study the stability of the upper equilibrium of the pendulum. An earlier published method is improved to the arbitrary inverted pendulum and thanks to this we give a sharper estimate for the stabi- lizability of the upper equilibrium. Finally, we investigate the stability of the upper equilibrium, again. The equation of motion of the pendulum around the upper equilibrium is a differ- ential equation with a 2T-periodic step function coefficient. We construct the 2T- and the 4T-periodic solutions of this equation. The curves on the param- eter plane corresponding to the 2T- and the 4T-periodic solutions describe the boundaries of the stability zone, so we can specify the exact stability map.

View Item